ランダム個別握手会における確率

℃-ute 舞美 ベリ工

そんな訳で、昨日から超Hソングの個別握手券が届いているようでTwitterのTL上では特定のメンバーの出現に関する悲喜交々と云った感じ。高見の見物を決め込んでいる僕としては微笑ましい限りです（笑）。
从*・ゥ・从＜それはそうと、ぶっちゃけ確率的にはどんな感じなの？
それをこれから考察してみましょう。確率久しぶりなんで間違ってたらゴメン（笑）。


ベリキュー12人全員分が一様に封入されていると仮定すると、1枚引いたときに愛理ちゃんを引く確率は

1/12=0.08333…

ですので8.3%の確率で愛理ちゃんを引く事が出来るという事です。
从*・ゥ・从＜ふむふむ。
しかしながら今回は1部につき3枚引く事が出来ますのでちょっと話がややこしくなります。
まず、1部につきn枚の愛理ちゃんが入っていると仮定します。一様に入っているとすると、全体の枚数は12n枚となります。この中から3枚引く組み合わせ総数は、

12nC3=2n(12n-1)(12n-2)　…　A

となります。その中から、愛理ちゃんを3枚引く組み合わせB、2枚引く組み合わせC、1枚引く組み合わせDはそれぞれ

nC3=n(n-1)(n-2)/6　…　B
nC2・11nC1=11n2(n-1)/2　…　C
nC1・11nC2=11n2(11n-1)/2　…　D

となり、12n枚の中から3枚引いたとき、n枚の愛理ちゃんを1枚以上引く確率は、(B+C+D)/Aで求められます。
すなわち、n=1の時A=220、B=0、C=0、D=55ですので求める確率は

55/220=0.25

25%の確率で愛理ちゃんが出現する事になります。
从*・ゥ・从＜3枚買った人の4人にひとりが愛理を引いた計算になりますね。
意外と高確率な気がする。
从*・ゥ・从＜つうかさ、愛理を1枚以上引く組み合わせじゃなくても、愛理を引かない組み合わせで計算したほうが早いんじゃないの？すなわち

11nC3=11n(11n-1)(11n-2)/6　…　E

从*・ゥ・从＜で、愛理を引かない確率がE/Aで、愛理を1枚以上引く事象は愛理を1枚も引かない事象の余事象なので、求める確率は

1-E/A

从*・ゥ・从＜すなわち、n=1の時A=220、E=165なので求める確率は

1-165/220=0.25

从*・ゥ・从＜やっぱり25%の確率で愛理が出現する事になります。こっちの方が簡単でしょ？
…ぐぬぬ。確かにそっちの方が簡単だな。だが、「愛理ちゃんだけを3枚引く確率」を求めるにはBが必要なんですよ。
从*・ゥ・从＜なるほど。それじゃあ、℃-uteメンバーを引く確率はどうなるの？
℃-uteメンバーは5人なので、5n枚封入されています。なので℃-uteを引かない組み合わせは残りの7n枚の内3枚を引くという事なので

7nC3=7n(7n-1)(7n-2)/6　…　F

となりますね。なので℃-uteを1枚以上引く確率は1-F/Aです。n=1の時求める確率は

1-35/220=0.8409

何と84.09%の確率で℃-uteメンバーが出現するという訳です。
从*・ゥ・从＜かなりの高確率！
しかしながら、n=1の時3枚とも℃-uteメンバーを引く確率はわずか4.55%にとどまるようです。
それでは、最後にnを増やした時確率がどうなるか

n 愛理を1枚以上引く確率 愛理を3枚引く確率 ℃-uteを1枚以上引く確率 ℃-uteを3枚引く確率
1 25.00% 0.00% 84.09% 4.55%
2 23.91% 0.00% 82.02% 5.93%
3 23.59% 0.06% 81.37% 6.37%
4 23.43% 0.10% 81.06% 6.59%
5 23.33% 0.13% 80.87% 6.72%
10 23.15% 0.19% 80.51% 6.98%
20 23.06% 0.22% 80.33% 7.11%
100 22.99% 0.25% 80.19% 7.21%

从*・ゥ・从＜nを増やすと愛理を引く確率は下がるけど愛理3枚引く確率は上がるんだ…。
数字的にはあまり変わらないけどそんな感じなんだね。
そんな訳で結論。引いた握手券は全て自分で使うという前提で…。
愛理ちゃん以外とは握手したくないという人：やめとけ。どうしてもというのなら1枚だけで
愛理ちゃんと少なくとも1回は握手したいという人：いちかばちかで
℃-uteと3回握手したいという人：やめとけ
℃-uteと少なくとも1回は握手したいという人：余程運が悪い人じゃなければ
Berryzと3回握手したいという人：かなり運が良い人なら
Berryzと少なくとも1回は握手したいという人：まず大丈夫
つうかこの辺は買う前に考えなきゃいけないことだよなぁ（笑）。買ってないけど。
从*・ゥ・从＜某かつちょーみたいに、あたしとちなとなっきぃと握手したいという人は？
…それはまた複雑なので余力があったら次回。